已知:关于x的一元二次方程kx2-(k-1)x-1=0且k≠0(1)求证:方程有两个实数根,(2)当k为何值时.此方程的两个实数根互为相反数,(3)我们定义:若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个正实数根x1.x2(x1＞x2).满足2＜$\frac{{x} {1}}{{x} {2}}$＜3.则称这个一元二次方程有两个“梦想根．如� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．已知：关于x的一元二次方程kx²-（k-1）x-1=0且k≠0
（1）求证：方程有两个实数根；
（2）当k为何值时，此方程的两个实数根互为相反数；
（3）我们定义：若一元二次方程ax²+bx+c=0的两个正实数根x₁、x₂（x₁＞x₂），满足2＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜3，则称这个一元二次方程有两个“梦想根”．如果关于x的一元二次方程kx²-（k-1）x-1=0有两个“梦想根”，求k的范围．

分析（1）根据根的判别式△=（k+1）²≥0，即可证出方程有两个实数根；
（2）设方程的两根分别为x₁、x₂，根据根与系数的关系即可得出x₁+x₂=$\frac{k-1}{k}$，再根据两个实数根互为相反数即可得出关于k的分式方程，解方程即可得出k的值；
（3）利用十字相乘法即可求出x₁=-$\frac{1}{k}$、x₂=1，根据方程有两个“梦想根”的定义即可得出关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围．

解答（1）证明：∵在方程kx²-（k-1）x-1=0（k≠0）中，△=[-（k-1）]²-4×k×（-1）=（k+1）²≥0，
∴方程有两个实数根．
（2）解：设方程的两根分别为x₁、x₂，则x₁+x₂=$\frac{k-1}{k}$，
∵x₁、x₂互为相反数，
∴$\frac{k-1}{k}$=0，解得：k=1，
经验证k=1是方程$\frac{k-1}{k}$=0的解．
∴当k=1时，此方程的两个实数根互为相反数．
（3）解：∵kx²-（k-1）x-1=（kx+1）（x-1）=0，
∴x₁=-$\frac{1}{k}$，x₂=1．
∵关于x的一元二次方程kx²-（k-1）x-1=0有两个“梦想根”，
∴2＜-$\frac{1}{k}$＜3或2＜$\frac{1}{-\frac{1}{k}}$=-k＜3，
解得：-$\frac{1}{2}$＜k＜-$\frac{1}{3}$或-3＜k＜-2．