题目内容

8．问题背景：
如图①，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．
小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE=$\sqrt{2}$CD，从而得出结论：AC+BC=$\sqrt{2}$CD．
简单应用：
（1）在图①中，若AC=$\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{2}$，则CD=3．
（2）如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙上，$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，若AB=13，BC=12，求CD的长．
拓展规律：
（3）如图④，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）
（4）如图⑤，∠ACB=90°，AC=BC，点P为AB的中点，若点E满足AE=$\frac{1}{3}$AC，CE=CA，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是$\sqrt{2}$PQ=$\frac{1+\sqrt{35}}{6}$AC或$\sqrt{2}$PQ=$\frac{\sqrt{35}-1}{6}$AC．

分析 （1）由题意可知：AC+BC=$\sqrt{2}$CD，所以将AC与BC的长度代入即可得出CD的长度；
（2）连接AC、BD、AD即可将问题转化为第（1）问的问题，利用题目所给出的证明思路即可求出CD的长度；
（3）以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D1，由（2）问题可知：AC+BC=$\sqrt{2}$CD1；又因为CD1=D1D，所以利用勾股定理即可求出CD的长度；
（4）根据题意可知：点E的位置有两种，分别是当点E在直线AC的右侧和当点E在直线AC的左侧时，连接CQ、CP后，利用（2）和（3）问的结论进行解答．

解答 解：（1）由题意知：AC+BC=$\sqrt{2}$CD，
∴$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$CD，
∴CD=3；

（2）连接AC、BD、AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵$\widehat{AD}=\widehat{BD}$，
∴AD=BD，
将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，如图③，
∴∠EAD=∠DBC，
∵∠DBC+∠DAC=180°，
∴∠EAD+∠DAC=180°，
∴E、A、C三点共线，
∵AB=13，BC=12，
∴由勾股定理可求得：AC=5，
∵BC=AE，
∴CE=AE+AC=17，
∵∠EDA=∠CDB，
∴∠EDA+∠ADC=∠CDB+∠ADC，
即∠EDC=∠ADB=90°，
∵CD=ED，
∴△EDC是等腰直角三角形，
∴CE=$\sqrt{2}$CD，
∴CD=$\frac{17\sqrt{2}}{2}$；

（3）以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D1，
连接D1A，D1B，D1C，如图④
由（2）的证明过程可知：AC+BC=$\sqrt{2}$D1C，
∴D1C=$\frac{\sqrt{2}（m+n）}{2}$，
又∵D1D是⊙O的直径，
∴∠DCD1=90°，
∵AC=m，BC=n，
∴由勾股定理可求得：AB2=m2+n2，
∴D1D2=AB2=m2+n2，
∵D1C2+CD2=D1D2，
∴CD=m2+n2-$\frac{（m+n）^{2}}{2}$=$\frac{（m-n）^{2}}{2}$，
∵m＜n，
∴CD=$\frac{\sqrt{2}（n-m）}{2}$；

（4）当点E在直线AC的左侧时，如图⑤，
连接CQ，PC，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
点P是AB的中点，
∴AP=CP，∠APC=90°，
又∵CA=CE，点Q是AE的中点，
∴∠CQA=90°，
设AC=a，
∵AE=$\frac{1}{3}$AC，
∴AE=$\frac{1}{3}$a，
∴AQ=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{6}a$，
由勾股定理可求得：CQ=$\frac{\sqrt{35}}{6}$a，
由（2）的证明过程可知：AQ+CQ=$\sqrt{2}$PQ，
∴$\sqrt{2}$PQ=$\frac{1}{6}$a+$\frac{\sqrt{35}}{6}$a，
∴$\sqrt{2}$PQ=$\frac{1+\sqrt{35}}{6}$AC；

当点E在直线AC的右侧时，如图⑥，
连接CQ、CP，
同理可知：∠AQC=∠APC=90°，
设AC=a，
∴AQ=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{6}a$，
由勾股定理可求得：CQ=$\frac{\sqrt{35}}{6}$a，
由（3）的结论可知：PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（CQ-AQ），
∴$\sqrt{2}$PQ=$\frac{\sqrt{35}-1}{6}$AC．
综上所述，线段PQ与AC的数量关系是$\sqrt{2}$PQ=$\frac{1+\sqrt{35}}{6}$AC或$\sqrt{2}$PQ=$\frac{\sqrt{35}-1}{6}$AC．

点评 本题考查圆的综合问题，每一问都紧扣着前一问的结论，涉及勾股定理、圆周角定理，旋转的性质等知识，解题的关键是就利用好已证明的结论来进行解答，考查学生综合运用知识的能力．

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