Question

18．已知二次函数图象的顶点坐标为A（2，0），且与y轴交于点（0，1），B点坐标为（2，2），点C为抛物线上一动点，以C为圆心，BC为半径的圆交x轴于M、N两点（M在N的左侧）．

（1）求此二次函数的表达式；
（2）当点C与点A重合时，求此时点M、N的坐标；
（3）当点C在抛物线上运动时，弦MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发生变化，求出弦MN的长．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的表达式为y=a（x-2）²，然后将（0，1）代入可求得a的值，从而可求得二次函数的表达式；
（2）根据两点间的距离公式可求圆的半径，再根据两点间的距离公式可求点M、N的坐标；
（3）过点C作CH⊥x轴，垂足为H，连接BC、CN，由勾股定理可知HC²=CN²-CH²=BC²-CH²，依据两点间的距离公式可求得HN=2，结合垂径定理可求得MN的长；

解答 解：（1）设抛物线的表达式为y=a（x-2）²．
∵将（0，1）代入得：4a=1，解得a=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$（x-2）²．
（2）AB=$\sqrt{（2-2）^{2}+（2-0）^{2}}$=2，
M的坐标为（2-2，0），即（0，0），
N的坐标为（2+2，0），即（4，0）；
（3）MN的长不发生变化．
理由：如图所示，过点C作CH⊥x轴，垂足为H，连接BC、CN．

设点C的坐标为（a，$\frac{1}{4}$（a-2）²）．
∵CH⊥MN，
∴MH=HN．
∵HN²=CN²-CH²=CB²-CH²，
∴HN²=[2-$\frac{1}{4}$（a-2）2]²+（a-2）²-[$\frac{1}{4}$（a-2）2]²=4．
∴HN=2．
∴MN=4．
∴MN不发生变化．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数函数的解析式、垂径定理、两点间的距离公式、勾股定理，综合性较强，难度中等．