Question

13．设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，记作y=f（x）．在函数y=f（x）中，当自变量x=a时，相应的函数值y可以表示为f（a）．
例如：函数f（x）=x²-2x-3，当x=4时，f（4）=4²-2×4-3=5在平面直角坐标系xOy中，对于函数的零点给出如下定义：
如果函数y=f（x）在a≤x≤b的范围内对应的图象是一条连续不断的曲线，并且f（a）．f（b）＜0，那么函数y=f（x）在a≤x≤b的范围内有零点，即存在c（a≤c≤b），使f（c）=0，则c叫做这个函数的零点，c也是方程f（x）=0在a≤x≤b范围内的根．
例如：二次函数f（x）=x²-2x-3的图象如图1所示．
观察可知：f（-2）＞0，f（1）＜0，则f（-2）．f（1）＜0．所以函数f（x）=x²-2x-3在-2≤x≤1范围内有零点．由于f（-1）=0，所以，-1是f（x）=x²-2x-3的零点，-1也是方程x²-2x-3=0的根．
（1）观察函数y₁=f（x）的图象2，回答下列问题：
①f（a）•f（b）＜0（“＜”“＞”或“=”）
②在a≤x≤b范围内y₁=f（x）的零点的个数是1．
（2）已知函数y₂=f（x）=-$\sqrt{3}{x^2}-2\sqrt{3}（a-1）x-\sqrt{3}（{a^2}-2a）$的零点为x₁，x₂，且x₁＜1＜x₂．
①求零点为x₁，x₂（用a表示）；
②在平面直角坐标xOy中，在x轴上A，B两点表示的数是零点x₁，x₂，点 P为线段AB上的一个动点（P点与A、B两点不重合），在x轴上方作等边△APM和等边△BPN，记线段MN的中点为Q，若a是整数，求抛物线y₂的表达式并直接写出线段PQ长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①根据函数的增减性，函数值的乘积，可得答案；
②根据图象与x轴的交点，可得答案；
（2）①根据零点函数值，可得方程，根据解一元二次方程，可得答案；
②将x₁、x₂的表达式代入x₁＜1＜x₂中即可求出a的取值范围，结合a是整数的条件可求出a的值，由此可确定抛物线的解析式；求PQ的取值范围时，过C作CD⊥x轴于D，连接CQ；根据抛物线的解析式，易求得点C的坐标，即可得到AD、CD的长，由此可求出∠BAC=60°，根据抛物线的对称性即可得到∠ABC=∠BAC=60°，由此可知△ABC是等边三角形，而△AMP、△BNP也是等边三角形，那么M、N分别在线段OC和线段BC上；易知CM∥PN，MP∥BC，则四边形PNCM是平行四边形，而Q是MN的中点，则Q也是CP的中点，即C、Q、P三点共线，由此可得PC=2PQ；在等边三角形ABC中，P在线段AB上运动，且不与A、B重合，因此PQ的取值范围应该在AD和AC长之间，可据此求出PQ的取值范围．

解答 解：（1）①由图象1，得f（a）•f（b）＜0，

②在a≤x≤b范围内y₁=f（x）的零点的个数是 1．
故答案为：＜，1；   
（2）①∵x₁、x₂是零点
∴当y=0时，即-$\sqrt{3}{x^2}-2\sqrt{3}（a-1）x-\sqrt{3}（{a^2}-2a）$=0．
方程可化简为 x²+2（a-1）x+（a²-2a）=0．
解方程，得x=-a或x=-a+2．
∵x₁＜1＜x₂，-a＜-a+2，
∴x₁=-a，x₂=-a+2．
②∵x₁＜1＜x₂，
∴-a＜1＜-a+2．
∴-1＜a＜1．
∵a是整数，
∴a=0，所求抛物线的表达式为y=-$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$．
此时顶点C的坐标为C（1，$\sqrt{3}$）如图2，
，
作CD⊥AB于D，连接CQ，
则AD=1，CD=$\sqrt{3}$，tan∠BAC=$\sqrt{3}$，
∴∠BAC=60°
由拋物线的对称性可知△ABC是等边三角形；
由△APM和△BPN是等边三角形，线段MN的中点为Q可得，
点M、N分别在AC和BC边上，四边形PMCN的平行四边形，
C、Q、P三点共线，且PQ=$\frac{1}{2}$PC；
∵点P线段AB上运动的过程中，P与A、B两点不重合，
DC≤PC＜AC，DC=$\sqrt{3}$，AC=2，
即$\frac{DC}{2}$≤PQ＜$\frac{AC}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤PQ＜1；
线段PQ的长的取值范围为：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$≤PQ＜1．

点评 本题考查了二次函数综合题，二次函数解析式的确定，等边三角形的性质等知识的综合应用能力，此题的难点在于PQ的取值范围，熟练掌握并能灵活运用抛物线、等边三角形、不等式等相关知识是解答此题的关键．