Question

2．已知反比例函数y=$\frac{{k}_{1}}{3x}$的图象与一次函数y=k₂x+m的图象交于A（-1，a），B（$\frac{1}{3}$，-3）两点，连结AO．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）若直线AB交x轴于点C，求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）把点（$\frac{1}{3}$，-3）代入反比例函数y=$\frac{{k}_{1}}{3x}$的即可求出k₁的值，进而求出反比例函数的解析式；再把点A的坐标代入反比例函数的关系式求出a的值，把A、B两点坐标代入一次函数的关系式即可求出一次函数的关系式；
（2）根据（1）中求出的一次函数的关系式求出点C的坐标，再根据S_△ABO=S_△AOC+S_△BOC进行解答；

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{{k}_{1}}{3x}$过B（$\frac{1}{3}$，-3），
∴-3=$\frac{{k}_{1}}{1}$，即k₁=-3，
∴此反比例函数的解析式为：y=-$\frac{1}{x}$；
∵反比例函数y=$\frac{{k}_{1}}{3x}$过A（-1，a），
∴a=-$\frac{1}{-1}$=1；
∵一次函数y=k₂x+m的图象交于两点A（-1，1），B（$\frac{1}{3}$，-3）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-{k}_{2}+m=1}\\{\frac{1}{3}{k}_{2}+m=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-3}\\{m=-2}\end{array}\right.$．
∴一次函数y=k₂x+m的解析式为：y=-3x-2；

（2）∵直线AB的解析式为y=-3x-2，
∴C（-$\frac{2}{3}$，0），
∴OC=$\frac{2}{3}$，
∵A（-1，1），B（$\frac{1}{3}$，-3），
∴S_△ABO=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×1+$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×3=$\frac{1}{3}$+1=1$\frac{1}{3}$．
故△AOB的面积是1$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题及用待定系数法求一次函数及反比例函数的关系式，在解（2）时能根据S_△ABO=S_△AOC+S_△BOC求解是解答此题的关键．