Question

3．平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．

（1）探究发现
如图（1），P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5．求∠APB的度数．
解：将△APC绕点A旋转到△APB′的位置，连接PP′，则△APP′是等边三角形．
∵PP′=PA=3，PB=4，PB′=PC=5，
∴P'P²+PB²=P'B²∴△BPP′为直角三角形．∴∠APB的度数为150°．
（2）类比延伸
在正方形ABCD内部有一点P，连接PA、PB、PC，若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长；
（3）拓展迁移
如图（3），在四边形ABCD中，线段AD与BC不平行，AC=BD=a，AC与BD交于点O，且∠AOD=60°，比较AD+BC与a的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数；
（2）把△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△BCP′，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状可得P′B=PB，P′C=PA，然后求出△BPP′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出PP′，∠PP′B=45°，再求出∠PP′C=90°，然后利用勾股定理列式计算即可得解；
（3）以AC为边向左做等边三角形PAC，连接PB，证明四边形PABD是平行四边形，再利用三角形三边关系证明即可．

解答 解：将△APC绕点A旋转到△APB′的位置，连接PP′，则△APP′是等边三角形．
∵PP′=PA=3，PB=4，PB′=PC=5，
∴P'P²+PB²=P'B²，
∴△BPP′为直角三角形，
∴∠APB的度数为90°+60°=150°
故答案为：等边；直角；150°
（2）如图1，把△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△BCP′，

则P′B=PB=4，P′C=PA=2，
∵旋转角是90°，
∴∠PBP′=90°，
∴△BPP′是等腰直角三角形，
∴PP′=$\sqrt{2}$PB=4$\sqrt{2}$，∠PP′B=45°，
∵∠APB=135°，
∴∠CP′B=∠APB=135°，
∴∠PP′C=135°-45°=90°，
在Rt△PP′C中，由勾股定理得，PC=$\sqrt{PP{'}^{2}+P'{C}^{2}}=\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}$=6；
（3）AD+BC＞a，理由如下：
如图2所示，以AC为边向左做等边三角形PAC，连接PB，

则PA=PC=AC=BD=a，∠PAC=60°，
∵∠AOD=60°，
∴PA∥BD，
∴四边形APBD是平行四边形，
∴AD=PB，
在△PBC中，可得：PB+BC＞PC，即AD+BC＞a．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．