Question

13．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ADB=∠CBD，AD=BC．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC=10，BD=24，AB=13，四边形ABCD是菱形吗？证明你的判断．

Answer 1

分析 （1）由内错角相等，得出AD∥BC，再由AD=BC，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出OA=$\frac{1}{2}$AC=5，OB=$\frac{1}{2}$BD=12，由OA²+OB²=AB²证出△AOB是直角三角形，得出AC⊥BD，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC，
又∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：四边形ABCD是菱形；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=5，OB=$\frac{1}{2}$BD=12，
∵5²+12²=13²，
∴OA²+OB²=AB²，
∴△AOB是直角三角形，
∴∠AOB=90°，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理的逆定理、菱形的判定；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．