Question

13．如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上一点，CD与半圆O相切于点D，连接AD，BD．
（1）求证：∠BAD=∠BDC；
（2）若sin∠BDC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，BC=2，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OD，如图，先由切线的性质得∠ODB+∠BDC=90°，再由圆周角定理得到∠ODB+∠ODA=90°，则∠BDC=∠ODA，加上∠ODA=∠BAD，然后等量代换即可得到结论；
（2）利用正弦定义得sin∠A=sin∠BDC=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，设BD=$\sqrt{5}$x，AB=5x，则AD=2$\sqrt{5}$x，然后证明△CBD∽△CDA，则利用相似比可计算出CD和AB，从而得到圆的半径．

解答 （1）证明：连接OD，如图，
∵CD与半圆O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90°，即∠ODB+∠BDC=90°，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠BDA=90°，即∠ODB+∠ODA=90°，
∴∠BDC=∠ODA，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠BAD，
∴∠BAD=∠BDC；
（2）解：∵sin∠A=sin∠BDC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{BD}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
设BD=$\sqrt{5}$x，AB=5x，则AD=$\sqrt{（5x）^{2}-（\sqrt{5}x）^{2}}$=2$\sqrt{5}$x，
∵∠BAD=∠BDC，∠BCD=∠DCA，
∴△CBD∽△CDA，
∴$\frac{BC}{CD}$=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{\sqrt{5}x}{2\sqrt{5}x}$=$\frac{1}{2}$，
而BC=2，
∴CD=4，AC=8，
∴AB=AC-BC=6，
∴⊙O的半径位3．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决（2）小题的关键是构建△CBD与△CDA相似．