Question

1．某口生产一种产品，当产量至少为10吨，但不超过55吨时，每吨的成本y（万元）与产量x（吨）之间是一次函数关系：y=-0.5x+50．
（1）当投入生产这种产品的总成本为1200万元时，求该产品的总产量；（注：总成本=每吨成本×总产量）
（2）市场调查发现，这种产品每月销售m（吨）与销售单价n（万元/吨）之间满足如图所示的函数关系式，该厂第一月按同一销售单价卖出这种产品25吨，请求出该厂第一个月销售这种产品获得的利润．（注：利润=售价-成本）

Answer 1

分析 （1）由总成本=每吨成本×总产量，结合每吨的成本y（万元）与产量x（吨）之间是一次函数关系：y=-0.5x+50可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；
（2）设m关于n的解析式为m=kn+b，结合图象上的点的坐标利用待定系数法即可求出m关于n的解析式，将m=25，x=25分别代入两个解析式中即可求出每吨的成本及每吨的售价，结合利润=售价-成本即可得出结论．

解答 解：（1）由已知得xy=1200，
将y=-0.5x+50代入xy=1200中得x（-0.5x+50）=1200，
解得：x=40，或x=60＞55（舍去）．
答：当投入生产这种产品的总成本为1200万元时，该产品的总产量为40吨．
（2）设m关于n的解析式为m=kn+b，
将点（40，30）和（55，15）代入m=kn+b中得：
$\left\{\begin{array}{l}{30=40k+b}\\{15=55k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=70}\end{array}\right.$．
∴m=-n+70．
令m=25，则有25=-n+70，解得：n=45．
令x=25，则y=-0.5×25+50=37.5．
该厂第一个月销售这种产品获得的利润为m（n-y）=25×（45-37.5）=187.5（万元）．
答：该厂第一月按同一销售单价卖出这种产品25吨，则该厂第一个月销售这种产品获得的利润为187.5万元．

点评 本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：（1）根据数量关系找出关于x的一元二次方程；（2）利用待定系数法求出m关于n的函数解析式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出方程（方程组或函数关系式）是关键．