Question

11．如图，在△ABC中，AC=3$\sqrt{2}$，将△ABC绕点C逆时针转至△DEC的位置，其中点A与点D是对应点，且点D在AB边上，此时BD=3$\sqrt{3}$-3，∠BCD=15°，延长EC交AB于点F．若∠E=30°，则FD=3+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由旋转的性质得到CD=AC，DE=AB，∠B=∠E，根据等腰直角三角形的判定得到∠A=∠ADC=45°，∠ACD=90°，通过等量代换得到△DEF是直角三角形，由三角函数即可得到结果．

解答 解：∵△ABC绕点C逆时针转至△DEC，
∴CD=AC，DE=AB，∠B=∠E=30°，
∵∠BCD=15°，
∴∠ADC=45°，
∴∠A=∠ADC=45°，
∴∠ACD=90°，∵AC=3$\sqrt{2}$，
∴AD=6，
∵BD=3$\sqrt{3}$-3，
∴AB=3+3$\sqrt{3}$，
∴DE=3+3$\sqrt{3}$，
∵∠ECD=∠ACB=180°=∠A-∠B=105，
∴∠ECB=∠ECD-∠BCD=90°，
∴∠FCB=90°，
∴∠EFD=60°，
∴∠EDF=90°，
∴DF=tan30°•DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$•（3+3$\sqrt{3}$）=3+$\sqrt{3}$，
故答案为：3+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了图形的变化-旋转，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，掌握旋转的性质是解题的关键．