Question

17．在△ABC中，∠C＞∠B，AE是△ABC的角平分线．
（1）如图①，AD⊥BC于点D，试说明∠EAD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．
（2）如图②，F是AE上一点，FD⊥BC于D，这时∠EFD与∠B，∠C有怎样的数量关系？
（3）如图③，F是线段AE延长线上一点，FD⊥BC于D，这时∠EFD与∠B，∠C又有怎样的数量关系，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由三角形内角和定理可得∠BAC=180°-∠B-∠C，∠CAD=90°-∠C，由角平分线的性质易得∠EAC的度数，可得∠EAD；
（2）由角平分线的性质和三角形的内角和得出∠BAE=90°-$\frac{1}{2}$（∠C+∠B），外角的性质得出∠AEC=90°+$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），在△EFD中，由三角形内角和定理可得∠EFD；
（3）与（2）的方法相同．

解答 （1）解：∵AD⊥BC，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C，∠CAD=90°-∠C．
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C），
∴∠EAD=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．

（2）∠EFD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）
证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{180°-∠B-∠C}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$（∠C+∠B），
∵∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+90°-$\frac{1}{2}$（∠C+∠B）=90°+$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°．
∴∠EFD=90°-90°-$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）
∴∠EFD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）

（3）∠EFD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{180°-∠B+∠C}{2}$．
∵∠DEF为△ABE的外角，
∴∠DEF=∠B+$\frac{180°-∠B+∠C}{2}$=90°+$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°．
∴∠EFD=90°-90°-$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），
∴∠EFD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．

点评 本题主要考查了三角形的内角和定理，综合利用角平分线的性质和三角形内角和定理是解答此题的关键．