Question

3．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=18，BC=21．点P从A出发沿AD以每秒1个单位的速度向点D匀速移动，点Q从点C沿CB以每秒2个单位的速度向点B匀速移动．点P、Q同时出发，其中一个点到终点时两点停止运动，设移动的时间为t秒．求：
（1）当AB=8时，设A、B、Q、P四点构成的图形的面积为S，求出S关于t的函数关系式，并写出定义域；
（2）点P、点Q与四边形ABCD的任意两个顶点能否构成平行四边形？若能，求出t的值；若不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）A、B、Q、P四点构成的图形是梯形，根据图形的面积公式进行列式计算，即可得到S关于t的函数关系式，容易得出定义域；
（2）分三种情况讨论，分别求出t的值即可．

解答 解：（1）由题得，AP=t，CQ=2t，BQ=21-2t，AB=10，∠B=90°
∴A、B、Q、P四点构成的图形的面积=$\frac{1}{2}$×（AP+BQ）×AB
∴S=，$\frac{1}{2}$×（t+21-2t）×8=-4t+84，
即S═-4t+84，
∵18÷1=18，21÷2=10.5
∴定义域为：0≤t≤10.5；
（2）能构成平行四边形；
当 四边形ABQP为平行四边形时，AP=BQ，
即t=21-2 t，
解得：t=7；
当四边形 PQCD为平行四边形时，PD=CQ，
即2t=18-t，
解得：t=6；
当四边形 BQDP为平行四边形时，PD=BQ，
即18-t=21-2 t，
解得：t=3；
当四边形 AQCP为平行四边形时，AP=CQ，
即t=2t，
解得：t=0，不合题意，舍去；
综上所述：点P、点Q与四边形ABCD的任意两个顶点能构成平行四边形，t的值为7s或6s或3s．

点评 本题是四边形综合题目，考查了梯形的性质、平行四边形的性质以及梯形面积的计算、分类讨论等知识；熟练掌握平行四边形的性质，进行分类讨论是解决问题（2）的关键．