Question

15．【问题提出】如图1．△ABC是等边三角形，点D在线段AB上．点E在直线BC上．且∠DEC=∠DCE．求证：BE=AD；
【类比学习】如图2．将条件“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变．判断线段AB、BE、BD之间的数量关系，并说明理由．
【扩展探究】如图3．△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，点D在线段AB的反向延长线上，点E在直线BC上，且∠DEC=∠DCE，【类比学习】中的线段AB、BE、BD之间的数量关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段AB，BE，BD之间的数量．

Answer 1

分析 （1）作DF∥BC交AC于F，由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，证明△ABC是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，证出△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF，由已知条件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS证明△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论；
（2）作DF∥BC交AC的延长线于F，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论；
（3）作DF∥BC交CA的延长线于F，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，再利用含30°的直角三角形的性质即可得出结论．

解答 （1）证明：作DF∥BC交AC于F，如图1所示：
则∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，
∵△ABC是等腰三角形，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠DBE=120°，∠ADF=∠AFD=60°=∠A，
∴△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，
∴AD=DF，
∵∠DEC=∠DCE，
∴∠FDC=∠DEC，ED=CD，
在△DBE和△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DEC=∠FDC}\\{∠DBE=∠DFC=120°}\\{ED=CD}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△CFD（AAS），
∴EB=DF，
∴EB=AD；

（2）解：EB=AB+BD；理由如下：
作DF∥BC交AC的延长线于F，如图2所示：
同（1）得：AD=DF，∠FDC=∠ECD，∠FDC=∠DEC，ED=CD，
又∵∠DBE=∠DFC=60°，
∴在△DBE和△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DEC=∠FDC}\\{∠DBE=∠DFC}\\{ED=CD}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△CFD（AAS），
∴EB=DF，
∴EB=AD，
∴EB=AB+BD；

（3）解：$\sqrt{3}$BE=3DB-3AB．
理由：作DF∥BC交CA的延长线于F，如图3所示，
则∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC+∠DCE=180°，
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ADF=∠AFD=∠ABC，
∵∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC，∠FDC+∠DEC=180°，
∵∠DEC+∠DEB=180°，
∴∠FDC=∠DEB，
在△DBE和△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠CFD}\\{∠BED=∠FDC}\\{DE=DC}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△CFD（AAS），
∴EB=DF，DB=CF，
∵CF=AC+AF=AB+AF，
∴DB=AB+AF，
过点A作AG⊥DF于G，
∵AF=AD，
∴DF=2FG，
在Rt△AFG中，∠AFG=90°-∠FAG=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴FG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AF，
∴EB=DF=2FG=$\sqrt{3}$AF，
∴AF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$EB
∴DB=AB+$\frac{\sqrt{3}}{3}$BE，
即：$\sqrt{3}$BE=3DB-3AB．

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．