Question

18．已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，过点B作BK⊥AC，垂足为K，过D作DH∥KB，DH分别与AC，AB，⊙O及CB的延长线相交于点E，F，G，H，且F是EG的中点．
（1）求证：点D在⊙O上；
（2）求证：F是AB的中点；
（3）若DE=4，求⊙O的半径和△BFH的面积．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的对角线相等且平分的性质得：OA=OD，所以点D在⊙O上；
（2）证明△AEF≌△BGF，则AF=BF；
（3）先在Rt△OED中，由勾股定理求⊙O的半径为3$\sqrt{2}$；再利用勾股定理计算AD=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
AB=$\sqrt{（6\sqrt{2}）^{2}-（2\sqrt{6}）^{2}}$=4$\sqrt{3}$，证明△AFD≌△BFH，可得S_△BFH=$\frac{1}{2}$BF•BH，代入计算即可．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC=OD=OB，
∵以O为圆心，OA长为半径作⊙O，
∴点D在⊙O上；
（2）同理，点B也是⊙O上，
连接BG，
∵∠BAD=90°，
∴BD也是直径，
∴∠BGD=90°，
∵BK⊥AC，BK∥DH，
∴∠GEK=90°，
∴BG∥AC，
∴∠FAE=∠FBG，
∵F是EG的中点，
∴EF=FG，
∵∠AFE=∠BFG，
∴△AEF≌△BGF，
∴AF=BF，
∴F是AB的中点；
（3）由（2）得：△AEF≌△BGF，
∴AE=BG，
∵OE⊥DG，
∴DE=EG=4，
∵OB=OD，
∴OE是△DGB的中位线，
∴OE=$\frac{1}{2}$BG，
∴OE=$\frac{1}{2}$AE，
设OE=x，则AE=2x，
∴OD=3x，
在Rt△OED中，由勾股定理得：OE²+ED²=OD²，
∴x²+4²=（3x）²，
x=$±\sqrt{2}$，
∴OD=3$\sqrt{2}$，即⊙O的半径为3$\sqrt{2}$；
Rt△AED中，AE=2$\sqrt{2}$，ED=4，
∴AD=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
Rt△ABD中，BD=2OD=6$\sqrt{2}$，
AB=$\sqrt{（6\sqrt{2}）^{2}-（2\sqrt{6}）^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∵AF=BF，∠AFD=∠BFH，∠DAF=∠ABH=90°，
∴△AFD≌△BFH，
∴BH=AD=2$\sqrt{6}$，
BF=AF=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
∴S_△BFH=$\frac{1}{2}$BF•BH=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{3}×2\sqrt{6}$=6$\sqrt{2}$．

点评 本题是圆的综合题，考查了全等三角形的性质和判定、矩形的性质、三角形中位线的性质、勾股定理等知识点，难度适中，本题多次运用勾股定理计算线段的长．