Question

13．已知等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，动点P在直线BC上运动（不与点B、C重合）．

（1）如图1，点P在线段BC上，作∠APQ=30°，PQ交AC于点Q．
①求证：△ABP∽△PCQ；
②当△APQ是等腰三角形时，求AQ的长．
（2）如图2，点P在BC的延长线上，作∠APQ=30°，PQ的反向延长线与AC的延长线相交于点D，是否存在点P，使△APD是等腰三角形？若存在，写出点P的位置；若不存在，请简要说明理由；
（3）如图3，点P在CB的延长线上，作∠APQ=30°，PQ与AC的延长线相交于点Q，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形？若存在，写出点P的位置；若不存在，请简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）①根据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=30°，证明∠BAP=∠QPC，根据相似三角形的判定定理证明结论；
②分AP=AQ、AP=PQ和AQ=PQ三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质解答；
（2）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理证明△CAP∽△PAD，根据相似三角形的性质计算即可；
（3）根据三角形内角和定理进行判断即可．

解答 解：（1）①∵∠BAC=120°，AB=AC=2，
∴∠B=∠C=30°，
∵∠BAP+∠APB=150°，
∠APB+∠QPC=150°，
∴∠BAP=∠QPC，
∴△ABP∽△PCQ；
②当AP=AQ时，∠APQ=∠AQP=30°，
∴∠PAQ=120°，
∴点P与点B、点Q与点C重合，不合题意；
当AP=PQ时，∵△ABP∽△PCQ，
∴△ABP≌△PCQ，
∴AB=PC=2，
∴BP=CQ=2$\sqrt{3}$-2，
∴AQ=AC-CQ=4-2$\sqrt{3}$；
当AQ=PQ时，∠PAQ=∠APQ=30°，
∴∠APC=∠AQP=120°，
∴AQ=PQ=QC=1；
（2）存在，
∵∠ACB=120°，
∴∠CAP+∠APC=30°，
∵∠APQ=30°，
∴∠CAP+∠D=30°，
∴∠APC=∠D，
∴△CAP∽△PAD，
∴$\frac{AC}{AP}$=$\frac{PC}{PD}$，又AP=PD，
∴PC=AC=2；
（3）不存在，
∵P和B不重合，
∴∠PAQ＞120°，
∴∠APQ=30°，∠AQP＜30°，
∴AP≠AQ．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，掌握相关的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．