如图.在△ABC中.AB=AC=13厘米.BC=10厘米.AD⊥BC于点D.动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段AD上向终点D运动.设动点运动时间为t秒．(1)求AD的长．(2)当P.C两点的距离为$\sqrt{29}$时.求t的值．(3)动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动．点M与点P同时出发.且当点P运动到终点D时.点M也停止运动．是否存在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．如图，在△ABC中，AB=AC=13厘米，BC=10厘米，AD⊥BC于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段AD上向终点D运动，设动点运动时间为t秒．
（1）求AD的长．
（2）当P、C两点的距离为$\sqrt{29}$时，求t的值．
（3）动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在时刻t，使得S_△PMD=$\frac{17}{120}$S_△ABC？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据等腰三角形性质和勾股定理解答即可；
（2）根据勾股定理建立方程求解即可；
（3）根据题意列出PD、MD的表达式解方程组，由于M在D点左右两侧情况不同，所以进行分段讨论即可，注意约束条件．

解答解：（1）∵AB=AC=13，AD⊥BC，
∴BD=CD=5cm，且∠ADB=90°，
∴AD²=AC²-CD²
∴AD=12cm．

（2）AP=t，
∴PD=12-t，
在Rt△PDC中，PC=$\sqrt{29}$，CD=5，根据勾股定理得，PC²=CD²+PD²，
∴29=5²+（12-t）²，
∴t=10或t=14（舍）．
即：t的值为10s；

（3）假设存在t，使得S_△PMD=$\frac{17}{120}$S_△ABC．
∵BC=10，AD=12，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC×AD=60，
①若点M在线段CD上，
即 0≤t＜$\frac{5}{2}$时，PD=12-t，DM=5-2t，
由S_△PMD=$\frac{17}{120}$S_△ABC，
即$\frac{1}{2}$（12-t）（5-2t）=$\frac{17}{2}$，
2t²-29t+43=0
解得t₁=$\frac{29+\sqrt{497}}{4}$（舍去），t₂=$\frac{29-\sqrt{497}}{4}$
②若点M在射线DB上，即 $\frac{5}{2}$＜t＜12．
由S_△PMD=$\frac{17}{120}$S_△ABC
得 $\frac{1}{2}$（12-t）（2t-5）=$\frac{17}{2}$，
2t²-29t+77=0
解得 t=11或t=$\frac{7}{2}$
综上，存在t的值为$\frac{29-\sqrt{497}}{4}$s或 11s或$\frac{7}{2}$s，使得S_△PMD=$\frac{17}{120}$S_△ABC．