Question

5．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC、AC于点D、E，连接AD，过点D作DF⊥AB，垂足为点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AE=DE，求∠C的度数；
（3）求证：CD²=AC•BF．

Answer 1

分析 （1）连接OD，则AD⊥BC，D为BC中点．OD为中位线，则OD∥AC，根据DF⊥AC可得OD⊥DF．得证；
（2）根据圆周角定理和等腰三角形的性质得出∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠B=∠C，根据三角形内角和定理得出∠AED=180°-∠BAC，根据圆内接四边形的性质得出∠C+∠AED=180°，即可证得∠B=∠C=∠BAC，得出∠C=60°；
（3）由∠B=∠C，∠ADC=∠DFB=90°，得出△DFB∽△ADC，得出 $\frac{BF}{CD}$=$\frac{BD}{AC}$，从而求得BD•CD=AC•BF，由BD=CD，即可求得CD²=AC•BF．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC．
又AB=AC=13，BC=10，D是BC的中点，
∴BD=5．
连接OD；
由中位线定理，知DO∥AC，
又∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切线．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC．
∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠B=∠C，
∵AE=DE，
∴∠BAD=∠EDA=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠AED=180°-∠BAC，
∵∠C+∠AED=180°，
∴∠C=∠BAC，
∵∠B=∠C=∠BAC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°；
（3）证明：∵∠B=∠C，∠ADC=∠DFB=90°，
∴△DFB∽△ADC，
∴$\frac{BF}{CD}$=$\frac{BD}{AC}$，
∴BD•CD=AC•BF，
∵BD=CD，
∴CD²=AC•BF．

点评 本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质．