Question

13．对于一个无理数m，我们把不超过m的最大整数叫做m的整数部分，把m减去整数部分的差叫做m的小数部分，设x=$\sqrt{2}$+1，a是x的小数部分，b是-x的小数部分，求a³+b³+3ab的值．

Answer 1

分析 根据是x的小数部分，b是-x的小数部分，分别求出a和b的值，然后把a³+b³+3ab分解因式，代值计算．

解答 解：∵2＜$\sqrt{2}$+1＜3，
∴a=x-2=$\sqrt{2}$-1．
又∵-x=-$\sqrt{2}$-1，
∵-3＜-$\sqrt{2}$-1＜-2，
∴b=-$\sqrt{2}$-1+3=2-$\sqrt{2}$．
∴a+b=1，
∴a³+b³+3ab
=（a+b）（a²-ab+b²）+3ab
=（a²-ab+b²）+3ab
=a²+2ab+b²
=（a+b）²
=1．
故a³+b³+3ab的值为1．

点评 本题主要考查立方公式的知识点，解答本题的关键是a+b的值，本题难度不大．