Question

17．已知如图，E、F为?ABCD的对角线AC所在直线上的两点，AE=CF，求证：BE=DF．（用两种方法证明）

Answer 1

分析 ①由平行四边形的性质得出AB=CD，∠BAC=∠DCA，由SAS证明△ABE≌△CDF，得出对应边相等即可；
②连接DE、BF，连接BD交AC于O，由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，证出OE=OF，得出四边形BFDE是平行四边形，即可得出结论．

解答 证明：方法①：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC．
∴∠BAC=∠DCA．
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}&{\;}\\{∠BAE=∠DCF}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE=DF．
方法②：连接DE、BF，连接BD交AC于O，
如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF．

点评 本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等和平行四边形是解决问题的关键．