题目内容
6．【操作探究】如图1，四边形ABCD是正方形，E是CD边的中点，把△ADE沿AE折叠后AD的延长线交边BC与M，请判断线段AM，AD，MC之间的数量关系：AM=AD+CM；
【拓展延伸】若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，上一题中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
【解决问题】如图3四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，垂直分别是B、C，AB=2CD，M是线段BC上一点，且∠AMB=2∠MAD．已知图中两个三角形的面积S△ADM=S1，S△CDM=S2，请用S1、S2表示S△ABM．
分析 从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，如图1（1），易证△ADE≌△NCE，从而有AD=CN，只需证明AM=NM即可．
【拓展延伸】在图2（1）中，仿照（1）中的证明思路即可证到AM=AD+MC仍然成立；
【解决问题】延长AE、BC交于点P，易证△AMP是等腰三角形，AD=DP，求出S△PDM、S△PCD，运用相似三角形的性质求出S△ABP，用三角形面积的和差表示即可．
解答 解：AM=AD+C
证明：延长AE、BC交于点N，如图1（1），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠ENC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠ENC=∠MAE．
∴MA=MN．
在△ADE和△NCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠CNE}\\{∠AED=∠NEC}\\{DE=CE}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△NCE（AAS）．
∴AD=NC．
∴AM=MN=NC+MC=AD+CM．
故答案为：AM=AD+CM
【拓展延伸】
证明：延长AE、BC交于点P，如图2（1），
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠EPC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠EPC=∠MAE．
∴MA=MP．
在△ADE和△PCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠CPE}\\{∠AED=∠PEC}\\{DE=CE}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△PCE（AAS）．
∴AD=PC．
∴MA=MP=PC+MC=AD+MC．
所以结论AM=AD+MC仍然成立．
【解决问题】
解：∵∠AMB=2∠MAD
∴∠MAD=∠MPD，
∴△AMP是等腰三角形，
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB∥CD，
∵AB=2CD，
∴AD=PD，
∴S△PDM=S△ADM=S1，又S△CDM=S2，
∴S△PCD=S△PDM-S△CDM=S1-S2，
∵AB=2CD，
∴S△ABP=4S△PCD，=4（S1-S2）
∴S△ABM=S△ABP-2S△ADM=4（S1-S2）-2S1=2S1-4S2．
点评 本题考查了正方形及矩形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的判定、平行线的性质、三角形相似的判定和性质等知识，考查了基本模型的构造（平行加中点构造全等三角形），综合性比较强．添加辅助线，构造全等三角形是解决这道题的关键．
备战中考寒假系列答案
| A． | 1个 | B． | 2个 | C． | 3个 | D． | 4个 |
| A． | 第一象限 | B． | 第二象限 | C． | 第三象限 | D． | 第四象限 |
如图，将三角尺ABC沿BC方向平移，得到三角形A′CC′．已知∠B=30°，∠ACB=90°，则∠BAA′的度数为150°．
如图，在等边△ABC的底边BC边上任取一点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，作DF∥AC交AC于点F，DE=5cm，DF=3cm，则△ABC的周长为24cm．
如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=3$\sqrt{3}$，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是5．