Question

2．已知△ABC的两条高线的长分别为5和20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为6．

Answer 1

分析 设△ABC的面积为S，所求的第三条高线的长为h，根据三角形面积公式得到三边长分别为 $\frac{2S}{5}$，$\frac{2S}{20}$，$\frac{2S}{h}$，再根据三角形三边的关系得$\frac{2S}{20}$+$\frac{2S}{5}$＞$\frac{2S}{h}$且$\frac{2S}{5}$+$\frac{2S}{h}$＞$\frac{2S}{20}$，然后求出两不等式的公共部分后找出最大整数即可．

解答 解：设△ABC的面积为S，所求的第三条高线的长为h，则三边长分别为 $\frac{2S}{5}$，$\frac{2S}{20}$，$\frac{2S}{h}$，
根据题意得$\frac{2S}{20}$+$\frac{2S}{5}$＞$\frac{2S}{h}$且$\frac{2S}{5}$+$\frac{2S}{h}$＞$\frac{2S}{20}$，
解得4＜h＜$\frac{20}{3}$，
而h为整数，
所以h的最大值为6．
故答案为6．

点评 本题考查了三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边．记住三角形面积公式．