Question

19．抛物线y=ax²+3交x轴于A（-4，0）、B两点，交y轴于C．将一把宽度为1.2的直尺如图放置在直角坐标系中，使直尺边A′D′∥BC，直尺边A′D′交x轴于E，交AC于F，交抛物线于G，直尺另一边B′C′交x轴于D．当点D与点A重合时，把直尺沿x轴向右平移，当点E与点B重合时，停止平移，在平移过程中，△FDE的面积为S．
（1）请你求出S的最大值及抛物线解析式；
（2）在直尺平移过程中，直尺边B′C′上是否存在一点P，使点P、D、E、F构成的四边形这菱形，若存在，请你求出点P坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过G作GH⊥x轴于H
①在直尺平移过程中，请你求出GH+HO的最大值；
②点Q、R分别是HC、HB的中点，请你直接写出在直尺平移过程中，线段QR扫过的图形的面积和周长．

Answer 1

分析 （1）由y=ax²+3，得到C（0，3），OC=3×$\frac{1}{2}DE•OC=3$，求得DE=2，则S的最大值为F与C重合时，此时高最大；于是得到S_max=$\frac{1}{2}$DE•CO=3将A（-4，0）B（4，0），代入y=ax²+3即可得到结论；
（2）当D与A重合时，FD=FE，过E作EP₁∥FA交B′C′于P₁，则四边形P₁DFE为菱形，此时F（$-3，\frac{3}{4}$），由于F与P₁关于x轴对称，得到P₁（$-3，-\frac{3}{4}$），②如图（2）若FE=ED=2时，过F作FP₂∥ED交B′C′于P₂，则四边形P₂DEF为菱形，反向延长FP₂交y轴于W，过F作FN⊥x轴于N，由于FE∥BC，∴∠FEN=∠CBO，求出sin∠FEN=sin∠CBO=$\frac{3}{5}$，在Rt△ENF中，sin∠FEN=$\frac{FN}{EF}$，即FN=$\frac{6}{5}$，解出直线AC的解析式为$y=\frac{3}{4}x+3$，即可求得P点的坐标；
（3）①设G$（x，-\frac{3}{16}x+3）$，由勾股定理即可求出结果，②在平移的过程中，QR始终平行且等于BC的一半，所以QR扫过的图形为平行四边形，如图3四边形Q₁R₁R₂Q₂为平行四边形，通过三角形相似，列比例式解得OH的长度，即可求得线段QR扫过的图形的面积和周长．

解答 （1）由y=ax²+3，得到C（0，3），OC=3×$\frac{1}{2}DE•OC=3$，求得DE=2，则S的最大值为F与C重合时，此时高最大；于是得到S_max=$\frac{1}{2}$DE•CO=3将A（-4，0）B（4，0），代入y=ax²+3即可得到结论；
解：（1）∵y=ax²+3，∴C（0，3），即：OC=3×$\frac{1}{2}DE•OC=3$，
∴DE=2，
则S的最大值为F与C重合时，此时高最大；
即S_max=$\frac{1}{2}$DE•CO=3，
将A（-4，0）B（4，0），
代入y=ax²+3得：$a=-\frac{3}{16}$即$y=-\frac{3}{16}{x^2}+3$，

（2）①如图1，当D与A重合时，FD=FE，过E作EP₁∥FA交B′C′于P₁，
则四边形P₁DFE为菱形，此时F（$-3，\frac{3}{4}$），
∵F与P₁关于x轴对称，
∴P₁（$-3，-\frac{3}{4}$），
②如图（2）若FE=ED=2时，过F作FP₂∥ED交B′C′于P₂，则四边形P₂DEF为菱形，
反向延长FP₂交y轴于W，过F作FN⊥x轴于N，
∵FE∥BC，∴∠FEN=∠CBO，
∴sin∠FEN=sin∠CBO=$\frac{3}{5}$，
在Rt△ENF中，sin∠FEN=$\frac{FN}{EF}$，即FN=$\frac{6}{5}$，
直线AC的解析式为$y=\frac{3}{4}x+3$，
令$y=\frac{6}{5}$，则$x=-\frac{12}{5}$，
∴FW=$\frac{12}{5}$，
∴${P_2}W=\frac{12}{5}+2=\frac{22}{5}$，
∴${P_2}（-\frac{22}{5}，\frac{6}{5}）$，

（3）①设G（x，-$\frac{3}{16}$x²+3），
∴$GH+HO=-x+（-\frac{3}{16}{x^2}+3）=-\frac{3}{16}{x^2}-x+3=-\frac{3}{16}{（x+\frac{8}{3}）^2}+\frac{13}{3}$，
∴GH+HO的最大值为$\frac{13}{3}$，
②在平移的过程中，QR始终平行且等于BC的一半，所以QR扫过的图形为平行四边形，
如图3四边形Q₁R₁R₂Q₂为平行四边形，
 设HO=m，则GH=$-\frac{3}{16}{m^2}+3$，
∵△EFM∽△EGH，
∴$\frac{FM}{GH}=\frac{EM}{EH}即\frac{{\frac{3}{4}}}{{-\frac{3}{16}{m^2}+3}}=\frac{1}{m-2}$，
∴${m_1}=2\sqrt{7}-2，{m_2}=-2\sqrt{7}-2$，
即：HO=$2\sqrt{7}-2$
∵HB=HO+OB=$2\sqrt{7}-2$+4=$2\sqrt{7}+2$，
∴$H{R_1}=\frac{1}{2}HB=\sqrt{7}+1$，
∵$H{R_2}=HB-{R_2}B=2\sqrt{7}+2-2=2\sqrt{7}$，
∴R₁R₂=HR₂-HR₁=$\sqrt{7}-1$，
∴S_{平行四边形}=（$\sqrt{7}$-1）×$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{7}$-$\frac{3}{3}$，
平行四边形R₁R₂Q₂Q₁的周长=$2\sqrt{7}+3$．

点评 本题考查了一次函数，二次函数，轴对称的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质性质，平行四边形的面积和周长的求法，正确的画出图形是解题的关键．