Question

17．在Rt△ABC中，AB=BC=5，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处，将三角板绕点O旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC或其延长线于E，F两点，如图①与②是旋转三角板所得图形的两种情况．
（1）三角板绕点O旋转，△OFC是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即给出△OFC是等腰直角三角形时BF的长），若不能，请说明理由；
（2）三角板绕点O旋转，线段OE和OF之间有什么数量关系？用图①或②加以证明．

Answer 1

分析 （1）由题意可知，①当F为BC的中点时，由AB=BC=5，可以推出CF和OF的长度，即可推出BF的长度，②当B与F重合时，③当OC=FC时，根据直角三角形的相关性质，即可推出OF的长度，即可推出BF的长度；
（2）连接OB，由已知条件推出△OEB≌△OFC，即可推出OE=OF．

解答 解：（1）△OFC是能成为等腰直角三角形，
①当F为BC的中点时，
∵O点为AC的中点，
∴OF∥AB，
∴CF=OF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
∵AB=BC=5，
∴BF=$\frac{5}{2}$，
②当B与F重合时，
∵OF=OC=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，
∴BF=0；

（2）如图①，连接OB，
∵由（1）的结论可知，BO=OC=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，
在△OEB与△OFC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OBE=∠C}\\{OB=OC}\\{∠EOB=∠FOC}\end{array}\right.$，
∴△OEB≌△OFC（ASA），
∴OE=OF．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，解题的关键在于作好辅助线，构建全等的三角形．