Question

5．已知四边形ABCD是平行四边形，CD为⊙O的切线，点C是切点．
（Ⅰ）如图1，若AB为⊙O直径，求四边形ABCD各内角的度数；
（Ⅱ）如图2，若AB为弦，⊙O的半径为3cm，当BC=2cm时，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OC．只要证明△OCB是等腰直角三角形即可解决问题
（2）如图2中，连接OC交AB于点E，连接OB，由（1）可知：AB⊥OC，设OE=xcm，则CE=（3-x）cm，想办法构建方程即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，连接OC．

∵CD切⊙O于点C，
∴CD⊥OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴AB⊥CD，
∵OC=OB，
∴∠B=∠OCB=45°，
∴∠BCD=∠OCD+∠OCB=135°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠DCB=135°，∠D=∠B=45°．

（2）如图2中，连接OC交AB于点E，连接OB，由（1）可知：AB⊥OC，

∴OB²-OE²=BE²，BC²-CE²=EB²，
设OE=xcm，则CE=（3-x）cm，
∴OB=3，BC=2，
∴3²-x²=2²-（3-x）²，
∴x=$\frac{7}{3}$，即OE=$\frac{7}{3}$cm，
∴BE=$\sqrt{O{B}^{2}-O{E}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$cm，
∴AB=2BE=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$cm，
∵四边形ABCD 平行四边形，
∴CD=AB=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$cm．

点评 本题考查切线的性质、平行四边形的性质、勾股定理、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．