题目内容
7．
己知：直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c均不为0）与x轴交于点C、D两点．（1）如图，当抛物线经过点B，且抛物线的顶点M为（1，4）时．
①求抛物线相应的函数表达式：
②求点C到直线y=x+3的距离：
（2）无论a为何值．抛物线y=ax2+bx+c的顶点M总在直线y=x+3上，经过点M作x轴的平行线与经过B另一条直线y=$\frac{1}{3}$x+n交于点E，经过点E作x轴的垂线和这条抛物线交于点F，和直线y=x+3交于点G，试探究EF和EG的数量关系．
分析 （1）①假设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+4，把B（0，3）代入y=a（x-1）2+4得到a=-1，即可解决问题．
②求出点C坐标，作CH⊥AB，证明△ACH是等腰直角三角形即可解决问题．
（2）结论：EF=-a•GE2．假设G（m，m+3），E（m，$\frac{1}{3}$m+3），由ME∥AD，推出M（$\frac{1}{3}$m，$\frac{1}{3}$m+3），设抛物线的解析式为y=a（x-$\frac{1}{3}$m）2+$\frac{1}{3}m+3$，推出F（m，-$\frac{4}{9}{m}^{2}$a+$\frac{1}{3}$m+3），推出GE=m+3-（$\frac{1}{3}$m+3）=$\frac{2}{3}$m，EF=$\frac{1}{3}$m+3-（-$\frac{4}{9}{m}^{2}$a+$\frac{1}{3}$m+3）=-$\frac{9}{4}$m2a，由此可得EF=-a•GE2．
解答 解：（1）①∵直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（-3，0），B（0，3），
∵抛物线的顶点M为（1，4），
∴可以假设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+4，
把B（0，3）代入y=a（x-1）2+4得到a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4，即y=-x2+2x+3，
②对于抛物线y=-x2+2x+3，令y=0得到x=-1或3，
∴C（-1，0），作CH⊥AB于H．
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAB=45°，
∴∠CAH=∠ACH=45°，
∵AC=2，
∴CH=$\sqrt{2}$．
（2）结论：EF=|a|•GE2，理由如下：
①当a＜0时，∵直线AB的解析式为y=x+3，直线BE的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+3，
∴可以假设G（m，m+3），E（m，$\frac{1}{3}$m+3），
∵ME∥AD，
∴M（$\frac{1}{3}$m，$\frac{1}{3}$m+3），设抛物线的解析式为y=a（x-$\frac{1}{3}$m）2+$\frac{1}{3}m+3$，
∴F（m，-$\frac{4}{9}{m}^{2}$a+$\frac{1}{3}$m+3），
∴GE=m+3-（$\frac{1}{3}$m+3）=$\frac{2}{3}$m，EF=$\frac{1}{3}$m+3-（-$\frac{4}{9}{m}^{2}$a+$\frac{1}{3}$m+3）=-$\frac{9}{4}$m2a，
∴EF=-a•GE2．
②同理，当a＞0时，EF=a•GE2．
综上所述，EF=|a|•GE2．
点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
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小学同步三练核心密卷系列答案
如图，将宽为1cm的纸条沿AC折叠，使∠ABC=60°，则折叠后重叠部分三角形的周长为（ ）| A． | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ | B． | 2$\sqrt{3}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | 3$\sqrt{3}$ |
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的角平分线交BC于点O，OC=2，以点O为圆心OC为半径作圆．| A． | （-2，1） | B． | （2，-1） | C． | （1，-2） | D． | （1，2） |
如图，A是半径为2的⊙O外的一点，OA=4，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为$\frac{2}{3}$π．
如图，已知抛物线经过点A（3，0）、B（-2，0）、C（0，6）．