Question

5．如图，已知抛物线经过点A（3，0）、B（-2，0）、C（0，6）．
（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；
（2）P是抛物线上的一点，若PB=PC，求出P点的坐标；
（3）在第一象限内的抛物线上是否存在点M，使四边形OAMC的面积最大？若存在，求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线与x轴的交点，设其交点式，将点C（0，6）代入求解可得；
（2）由PB=PC知点P是线段BC中垂线与抛物线的交点，先求得直线BC解析式和线段BC的中点坐标，再求得其中垂线解析式，联立方程组求解可得；
（3）设出点M的坐标，根据S_{四边形OAMC}=S_梯形ONMC+S_△AMN列出函数解析式，配方成顶点式即可得出其最大值．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-3），
将点C（0，6）代入，得：-6a=6，
解得：a=-1，
则抛物线解析式为y=-（x+2）（x-3）=-x²+x+6；

（2）设直线BC所在直线解析式y=kx+b，
将点（-2，0）、（0，6）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=6}\end{array}\right.$，
则直线BC的解析式为y=3x+6，
BC的中点坐标为（$\frac{-2+0}{2}$，$\frac{0+6}{2}$），即（-1，3），
∴线段BC的中垂线解析式为y-3=-$\frac{1}{3}$（x+1），即y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{8}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}}\\{y=-{x}^{2}+x+6}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2+\sqrt{34}}{3}}\\{y=\frac{22-\sqrt{34}}{9}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2-\sqrt{34}}{3}}\\{y=\frac{22+\sqrt{34}}{9}}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为（$\frac{2+\sqrt{34}}{3}$，$\frac{22-\sqrt{34}}{9}$）或（$\frac{2-\sqrt{34}}{3}$，$\frac{22+\sqrt{34}}{9}$）；

（3）如图，设点M（x，-x²+x+6），
过点M作MN⊥x轴，

则S_{四边形OAMC}=$\frac{1}{2}$•x（-x²+x+6+6）+$\frac{1}{2}$（3-x）（-x²+x+6）
=-$\frac{1}{2}$x³+$\frac{1}{2}$x²+6x-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+9+$\frac{1}{2}$x³-$\frac{1}{2}$x²-3x
=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x+9
=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{4}$）²+$\frac{315}{32}$，
∴当x=$\frac{3}{4}$时，S_{四边形OAMC}取得最大值$\frac{315}{32}$，
此时点M的坐标为（$\frac{3}{4}$，$\frac{93}{16}$）．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式、线段的中点坐标、直线垂直时斜率的关系及割补法求多边形面积是解题的关键．