Question

4．如图，A是半径为2的⊙O外的一点，OA=4，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为$\frac{2}{3}$π．

Answer 1

分析 连接OB、OC，如图，利用切线的性质得∠ABO=90°，再利用三角函数的定义可求出∠BAO=30°，则∠AOB=60°，接着利用平行线的性质得到∠CBO=∠AOB=60°，利用三角形面积公式可得到S_△ABC=S_△OCB，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积=S_扇形BOC进行计算．

解答 解：连接OB、OC，如图，
∵AB切⊙O于点B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
在Rt△ABO中，∵sin∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠BAO=30°，
∴∠AOB=60°，
∵BC∥OA，
∴∠CBO=∠AOB=60°，S_△ABC=S_△OCB，
∴∠BOC=60°，图中阴影部分的面积=S_扇形BOC，
∴图中阴影部分的面积=$\frac{60•π•{2}^{2}}{360}$=$\frac{2}{3}$π．
故答案为$\frac{2}{3}$π．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了平行线的性质．