Question

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的角平分线交BC于点O，OC=2，以点O为圆心OC为半径作圆．
（1）求证：AB为⊙O的切线；              
（2）如果tan∠BAO=$\frac{1}{3}$，求cosB的值．

Answer 1

分析 （1）如图作OM⊥AB于M，根据角平分线性质定理，可以证明OM=OC，由此即可证明．
（2）设BM=x，OB=y，列方程组即可解决问题．

解答 解：（1）如图，作OM⊥AB于M，

∵OA平分∠CAB，OC⊥AC，OM⊥AB，
∴OC=OM，
∴AB是⊙O的切线，

（2）设BM=x，OB=y，则y²-x²=2²   ①，
∵cosB=$\frac{BM}{OB}$=$\frac{BC}{AB}$，
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{y+2}{x+6}$，
∴x²+6x=y²+2y    ②，
由①②可以得到：y=3x-2，
∴（3x-2）²-x²=4，
∴x=$\frac{3}{2}$，y=$\frac{5}{2}$，
∴cosB=$\frac{x}{y}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查切线的判定、勾股定理、三角函数等知识，解题的关键是记住圆心到直线的距离等于半径，这条直线就是圆的切线，学会设未知数列方程组解决问题．