Question

4．如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE=6cm．
（1）如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以acm/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒，
①CP的长为10-4tcm（用含t的代数式表示）；
②若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值．
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动．则点P与点Q会不会相遇？若不相遇，请说明理由．若相遇，求出经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD的何处相遇？

Answer 1

分析 （1）①根据正方形边长为10cm和点P在线段BC上的速度为4cm/秒即可求出CP的长；
②分△BPE≌△CPQ和△BPE≌△CQP两种情况进行解答；
（2）根据题意列出方程，解方程即可得到答案．

解答 解：（1）①PC=BC-BP=10-4t；
②当△BPE≌△CPQ时，
BP=PC，BE=CQ，
即4t=10-4t，at=6，
解得a=4.8；
当△BPE≌△CQP时，
BP=CQ，BE=PC，
即4t=at，10-4t=6，
解得a=4；
（2）当a=4.8时，
由题意得，4.8t-4t=30，
解得t=37.5，
∴点P共运动了37.5×4=150cm，
∴点P与点Q在点A相遇，
当a=4时，点P与点Q的速度相等，∴点P与点Q不会相遇．
∴经过37.5秒点P与点Q第一次在点A相遇．

点评 本题考查的是正方形的性质和全等三角形的判定和性质，正确运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．