Question

9．已知点P是半径为1的⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA=1，AB是⊙O的弦，AB=$\sqrt{2}$，连接PB，则PB=1或$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 本题应分两种情况进行讨论：
（1）如图1，可以根据平行四边形的判定和性质即可求出PB；
（2）如图2，此时可以根据已知条件证明PABO是平行四边形，然后利用平行四边形的性质和勾股定理即可求出PB．

解答 解：连接OA，
（1）如图1，连接OA，
∵OB=AO=1，AB=$\sqrt{2}$，
∴OB²+OA²=AB²，
∴∠AOB=90°，
∵PA是⊙的切线，
∴∠PAO=90°，
∵PA∥OB，
∵PA=1，
∴PA=OB，
∴四边形PAOB是平行四边形，
∴PB=OA=1；
（2）如图2，连接OA，与PB交于C，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
而PA=AO=1
∴OP=$\sqrt{2}$；
∵AB=$\sqrt{2}$，
而OA=OB=1，
∴AO⊥BO，
∴四边形PABO是平行四边形，
∴PB，AO互相平分；
设AO交PB与点C，
即OC=$\frac{1}{2}$，
∴BC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴PB=$\sqrt{5}$．
故答案为：1或$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了切线的性质、勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定等知识，综合性比较强，注意分类讨论，不要漏解．