Question

11．如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．
（1）求证：直线FG是⊙O的切线；
（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）连接OE，证明FG是⊙O的切线，只要证明∠OEF=90°即可；
（2）设OA=OE=x，则OB=10-x，在Rt△OBE中，∠OBE=90°，BE=5，由勾股定理得：OB²+BE²=OE²，即（10-x）²+5²=x²，求出x的值，即可解答．

解答 解：（1）如图1，连接OE，

∵OA=OE，
∴∠EAO=∠AEO，
∵AE平分∠FAH，
∴∠EAO=∠FAE，
∴∠FAE=∠AEO，
∴AF∥OE，
∴∠AFE+∠OEF=180°，
∵AF⊥GF，
∴∠AFE=∠OEF=90°，
∴OE⊥GF，
∵点E在圆上，OE是半径，
∴GF是⊙O的切线．
（2）∵四边形ABCD是矩形，CD=10，
∴AB=CD=10，∠ABE=90°，
设OA=OE=x，则OB=10-x，
在Rt△OBE中，∠OBE=90°，BE=5，
由勾股定理得：OB²+BE²=OE²，
∴（10-x）²+5²=x²，
∴$x=\frac{25}{4}$，
$AH=2×\frac{25}{4}=\frac{25}{2}$，
∴⊙O的直径为$\frac{25}{2}$．

点评 本题考查的是切线的判定，解决本题的关键是要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．