Question

求下列三角形的外接圆半径R和内切圆半径r．
（1）等边△ABC，边长为6；
（2）在△ABC中，AB=AC=13，BC=24；
（3）Rt△ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12．

Answer 1

考点：三角形的外接圆与外心,三角形的内切圆与内心

专题：

分析：（1）过圆心作一边的垂线，解直角三角形即可求出外接圆半径和内切圆；
（2）根据等腰三角形的性质得出内心和外心都在底边的高AD上，根据勾股定理得出方程，即可求出外接圆的半径，根据三角形的面积公式即可求出内切圆的半径；
（3）根据勾股定理求出斜边，即可得出外接圆的半径画出图形，根据切线长定理求出BF=BD，AF=AE，求出四边形DCEO是正方形，得出OD=OE=DC=CE，得出方程，求出即可．

解答：解：（1）如图1，

△ABC是正三角形，设O是△ABC的中心（也是等边三角形ABC的内心），
则∠OBD=30°，
∵正三角形的边长为6，
∴BD=

1

2

BC=

1

2

×6=3，OD=BD•tan30°=3×

3

3

=

3

，
OB=2OD=2

3

，
即三角形的外接圆半径R=2

3

，内切圆半径r=

3

；

（2）如图2，

∵在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，
∴过A作AD⊥BC于D，则外接圆的圆心O在AD上，连接OB、OC，
∴BD=CD=

1

2

BC=12，AD=

132-122

=5，
∵在Rt△OBD中，由勾股定理得：OB²=OD²+BD²，
∴R²=（5-R）²+12²，
∴R=16.9；
如图3，

故A作AD⊥BC于D，
∵△ABC中，AB=AC，
∴△ABC的外心I在AD上，过I作IE⊥AC于E，IF⊥AB于F，连接OA、OB、OC，
则IF=IE=ID=r，
∵S_△ABC=S_△BIC+S_△AIC+S_△ABI，
∴由三角形的面积公式得：

1

2

BC×AD=

1

2

BC×r+

1

2

AC×r+

1

2

AB×r，
∴12×5=12r+13r+13r，
∴r=

30

19

，
即三角形ABC的外接圆半径R=16.9，内切圆半径r=

30

19

；

（3）如图4，

接圆的圆心是斜边AB的中点，
由勾股定理得：AB

AC2+BC2

=

52+122

=13，
所以外接圆的半径为

1

2

AB=6.5，
连接OD、OE，如图5，

∵⊙O是△ACB的内切圆，
∴BD=BF，AE=AF，CD=CE，∠ODC=∠C=∠OEC=90°，
∵OD=OE，
∴四边形DCEO是正方形，
∴OD=DC=OE=CE，
∵AB=13，
∴BF+AF=BD+AE=12-OD+5-OE=13，
∴OD=OE=2，
即三角形ABC的外接圆半径R=6.5，内切圆半径r=2．

点评：本题考查了三角形的外接圆和内切圆，勾股定理，三角形的面积，解直角三角形的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，有一定的难度．