Question

1．如图，O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，四边形OABC是平行四边形，∠AOC=45°，OA=2，反比例函数y=$\frac{k}{x}$在第一现象内的图象经过点A，与BC交于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点D的纵坐标为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求直线AD的解析式．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥x轴于点H，根据等腰三角形性质及三角函数可求得点A的坐标，从而可得反比例函数解析式；
（2）由反比例函数解析式及点D的纵坐标可得D的坐标，结合点A的坐标，待定系数法可求得直线AD解析式．

解答 解：（1）如图，作AH⊥x轴于点H，

∵OA=2，∠AOH=45°，
∴OH=AH=OAsin∠AOH=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
即A（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
又∵点A（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）在y=$\frac{m}{x}$图象上，
∴m=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2，
∴反比例函数解析式是y=$\frac{2}{x}$；

（2）∵点D的纵坐标为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且点D在双曲线y=$\frac{2}{x}$上，
∴其横坐标为2$\sqrt{2}$，即D（2$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
设直线AD解析式为：y=kx+b，
将点A（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）、D（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2$\sqrt{2}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}k+b=\sqrt{2}}\\{\frac{\sqrt{2}}{2}k+b=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点及用待定系数法求反比例函数的解析式，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，求出A、D点坐标是解答此题的关键．