如图.在平面直角坐标系中.O为坐标原点.抛物线y=ax2+2xa+c经过A两点.与x轴交于另一点C.直线y=x+5与x轴交于点D.与y轴交于点E．(1)求抛物线的解析式,(2)点P是第二象限抛物线上的一个动点.连接EP.过点E作EP的垂线l.在l上截取线段EF.使EF=EP.且点F在第一象限.过点F作FM⊥x轴于点M.设点P的横坐标为t.线段FM的长度为d.求d与t之间的函数关� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax²+2xa+c经过A（-4，0），B（0，4）两点，与x轴交于另一点C，直线y=x+5与x轴交于点D，与y轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第二象限抛物线上的一个动点，连接EP，过点E作EP的垂线l，在l上截取线段EF，使EF=EP，且点F在第一象限，过点F作FM⊥x轴于点M，设点P的横坐标为t，线段FM的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点E作EH⊥ED交MF的延长线于点H，连接DH，点G为DH的中点，当直线PG经过AC的中点Q时，求点F的坐标．

分析（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）如图1，作辅助线构建两个直角三角形，利用斜边PE=EF和两角相等证两直角三角形全等，得PA′=EB′，则d=FM=OE-EB′代入列式可得结论，但要注意PA′=-t；
（3）如图2，根据直线EH的解析式表示出点F的坐标和H的坐标，发现点P和点H的纵坐标相等，则PH与x轴平行，证明△PGH≌△QGD，得PH=DQ=4，列式可得t的值，求出t的值并取舍，计算出点F的坐标．也可以利用线段中点公式求出结论．

解答解：（1）把A（-4，0），B（0，4）代入y=ax²+2xa+c得$\left\{\begin{array}{l}{16a-8a+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4；
（2）如图1，分别过P、F向y轴作垂线，垂足分别为A′、B′，过P作PN⊥x轴，垂足为N，
由直线DE的解析式为：y=x+5，则E（0，5），
∴OE=5，
∵∠PEO+∠OEF=90°，∠PEO+∠EPA′=90°，
∴∠EPA′=∠OEF，
∵PE=EF，∠EA′P=∠EB′F=90°，
∴△PEA′≌△EFB′，
∴PA′=EB′=-t，
则d=FM=OB′=OE-EB′=5-（-t）=5+t；
（3）如图2，由直线DE的解析式为：y=x+5，
∵EH⊥ED，
∴直线EH的解析式为：y=-x+5，
∴FB′=A′E=5-（-$\frac{1}{2}$t²-t+4）=$\frac{1}{2}$t²+t+1，
∴F（$\frac{1}{2}$t²+t+1，5+t），
∴点H的横坐标为：$\frac{1}{2}$t²+t+1，
y=-$\frac{1}{2}$t²-t-1+5=-$\frac{1}{2}$t²-t+4，
∴H（$\frac{1}{2}$t²+t+1，-$\frac{1}{2}$t²-t+4），
连接PH交y轴于A′，
∴P与H的纵坐标相等，
∴PH∥x轴，
∴∠HPQ=∠PQD，∠PGH=∠QGD，
∵DG=GH，
∴△PGH≌△QGD，
∴PH=DQ，
∵A（-4，0），C（2，0），
∴Q（-1，0），
∵D（-5，0），
∴DQ=PH=4，
∴-t+$\frac{1}{2}$t²+t+1=4，
t=±$\sqrt{6}$，
∵P在第二象限，
∴t＜0，
∴t=-$\sqrt{6}$，
∴F（4-$\sqrt{6}$，5-$\sqrt{6}$）．

点评本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，考查了直角三角形全等的性质和判定；本题的关键是根据直角三角形全等对应边相等列式得出d与t的函数关系式；同时要注意：若A、B两点的坐标分别为（x₁、y₁）、（x₂、y₂），则线段AB中点的坐标为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）．