我国南海某海域有一个固定侦测点A.该侦测点的可侦测半径为$10\sqrt{2}$海里．某天.在点A侦测到西北方向上的点C处有一可疑船恰好进入侦测区域.且往正东方向匀速航行.我方与其进行多次无线电沟通无果后.可疑船只于2小时后恰好在D处离开侦测区域.我方立即通知位于点A北偏东37°方向.且与A相距50海里的B处的军舰往正南方向对可疑船只进行侦测拦� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．

我国南海某海域有一个固定侦测点A，该侦测点的可侦测半径为$10\sqrt{2}$海里．某天，在点A侦测到西北方向上的点C处有一可疑船恰好进入侦测区域，且往正东方向匀速航行，我方与其进行多次无线电沟通无果后，可疑船只于2小时后恰好在D处离开侦测区域，我方立即通知（通知时间忽略不计）位于点A北偏东37°方向，且与A相距50海里的B处的军舰往正南方向对可疑船只进行侦测拦截．
（1）求可疑船只的速度及点B到直线CD的距离；
（2）若军舰航行速度为20海里/时，可侦测半径为10海里，问军舰最快几小时可以侦测到可疑船只？（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）

分析（1）根据等腰直角三角形的判定定理求出CD，求出可疑船只的速度，作BF⊥CD交CD于点F，根据正切的定义求出BF；
（2）根据题意和勾股定理列出方程，解方程即可．

解答解：（1）由题意可得，AC=AD=$10\sqrt{2}$，∠ACD=∠ADC=45°，
∴∠CAD=90°，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}+A{D}^{2}}=\sqrt{（10\sqrt{2}）^{2}+（10\sqrt{2}）^{2}}$=20，
∴可疑船只的速度是：20÷2=10海里/时，
作BF⊥CD交CD于点F，如图所示，
∵CD=20，AC=AD，AE⊥CD于点E，∠CAD=90°，
∴AE=10，
又∵EAG=37°，∠AEG=90°，
∴AG=$\frac{AE}{cos37°}=\frac{10}{0.8}=\frac{25}{2}$，
∵AB=50，
∴BG=$\frac{75}{2}$，
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴AE∥BF，
∴∠GBF=∠GAE=37°，
∴BF=BG•cos37°=$\frac{75}{2}×0.8=30$，
即可疑船只的速度是10海里/时，点B到直线CD的距离是30海里；
（2）EG=AE•tan∠EAG=7.5，
∴DG=ED-EG=2.5，
GF=BF•tan∠B=22.5，
则DF=GF-GD=20，
设军舰最快x小时可以侦测到可疑船只，
由勾股定理得，MN²=NF²+MF²，即（20-10x）²+（30-20x）²=10²，
解得x=$\frac{6}{5}$．
答：军舰最快$\frac{6}{5}$小时可以侦测到可疑船只．