Question

8．如图，△ABC中，AD是BC边的中线，分别过点B，D作AD，AB的平行线交于点E，且ED交AC于点F，AD=2DF．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）若BD=6，∠E=60°，求四边形ABED的面积．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形ABED是平行四边形，利用三角形中位线定理可以证明AD=AB即可．
（2）求出菱形的对角线即可求面积．

解答 （1）证明：∵AD是BC边中线，
∴DC=DB，DF∥AB，
∴CF=FA，
∴AB=2DF，
∵AD=2DF，
∴AB=AD，
∵AD∥BE，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，∵AD=AB，
∴四边形ABED是菱形．
（2）连接AE交BD于O，∵∠DEB=60°，四边形ABED是菱形，
∴△BDE、△ABD是等边三角形，DO=BO=3，
在RT△DOE中，∵DO=3，∠EDO=60°，DE=6，
∴EO=$\sqrt{D{E}^{2}-D{O}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴AE=2EO=6$\sqrt{3}$，
∴S_菱形ABED=$\frac{1}{2}$•AE•BD=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{3}$×6=18$\sqrt{3}$．

点评 本题考查菱形的判定和性质、三角形中位线定理、菱形的面积公式，记住菱形的面积等于对角线乘积的一半，属于中考常考题型．