Question

7．如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB的顶点A落在反比例函数y=$\frac{9\sqrt{3}}{x}$上，OB在x轴正半轴上，中点为E，C为边OA上一点，过点C作CD∥AB交OB于D，以CD所在直线为对称轴将线段OE作轴对称变换得O′E′，设OC的长为x．
（1）当点E′落在AB上时，x的值为4.5
（2）当O′E′与反比例函数图象有交点时，x的取值范围是2$\sqrt{3}$≤x≤6．

Answer 1

分析 （1）连接AE，设OE=a，根据等边三角形的性质，轴对称的性质以及平行线的性质得出D是EB的中点，进而得出x的值；
（2）根据题意，O′E′在过D点平行于OA的直线上，当O′落在反比例函数图象上时，根据对称的性质O′D=OD=OC=x，得出O′坐标，当O′落在反比例函数图象上时，列出关于x的方程，从而求得x的取值范围．

解答 解：（1）连接AE，
∵△AOB是等边三角形，点E是OB的中点，
∴AE⊥OB，
设OE=a，则AE=$\sqrt{3}$a，
∴A（a，$\sqrt{3}$a），
∴a•$\sqrt{3}$a=9$\sqrt{3}$，
解得a=3，
∴OE=EB=3，
∴OA=OB=6，
连接EE′，
∵E和E′关于直线CD对称，
∴EE′⊥CD，
∴AB∥CD，
∴EE′⊥AB，
∵点E′落在AB上，
∴CD⊥EE′且平分EE′，
∴D是EB的中点，
∴OD=4.5，
∴OC=OD=4.5，
∴x=4.5．
（2）根据题意，O′E′在过D点平行于OA的直线上，根据对称的性质O′D=OD=OC=x，
∴O′（$\frac{3}{2}$x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$x），
当O′落在反比例函数图象上时，
则$\frac{3}{2}$x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=9$\sqrt{3}$，
解得x=2$\sqrt{3}$，
∵C为边OA上一点，OA=6，
∴O′E′与反比例函数图象有交点时，x的取值范围是2$\sqrt{3}$≤x≤6．
故答案为4.5；2$\sqrt{3}$≤x≤6．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，涉及的知识有：等边三角形的性质，轴对称的性质，解直角三角形等，熟练掌握轴对称的性质是解本题的关键．