Question

2．如图，直线y=-x与双曲线$y=\frac{2}{x}$（只在第一象限内的部分）在同一直角坐标系内，现有一个半径为1且圆心P在双曲线$y=\frac{2}{x}$上的一个动圆⊙P，⊙P在运动过程中圆上的点与直线y=-x的最近距离为1．

Answer 1

分析 设直线y=-x向上平移b个单位与双曲线$y=\frac{2}{x}$相交，与反比例函数解析式组成方程组，消去y，让所得方程的根的判别式为非负数即可求得k的最小值，也就求得了至少平移的距离，找到反比例函数上的点到直线y=-x的最小距离，减去圆的半径即可．

解答 解：设直线y=-x向上平移b个单位与双曲线$y=\frac{2}{x}$相交，
则此时直线的解析式为y=-x+b，
由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+b}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，
∴-x+b=$\frac{2}{x}$；
-x²+bx-2=0，
两个函数有交点，则b²-8≥0，
解得b≥2$\sqrt{2}$，
∴直线y=-x至少向上平移2$\sqrt{2}$个单位才能与双曲线y=$\frac{2}{x}$有交点，
∵直线y=-x向上移动2$\sqrt{2}$单位后与反比例函数图象有一个交点，
那么y=-x+2$\sqrt{2}$与y=-x相距2个单位，
由于⊙P的半径为1，所以⊙P在运动过程中圆上的点与直线y=-x的最近距离为1，
故答案为：1．

点评 本题考查的是反比例函数知识的综合运用，解决本题的关键是理解两个函数解析式有交点，即两个函数组合成的一元二次方程的根的判别式为非负数以及两直线之间的距离的确定．