Question

17．如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D分别落在对角线BC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN．
（1）求证：DN=BM．
（2）连接MF、NE，求证：四边形MFNE是平行四边形．
（3）P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN，且AB=8，BC=6，求AQ的长度．

Answer 1

分析 （1）欲证明DN=BM，只需推知△ADN≌△CBM．根据折叠的性质得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，从而根据AD∥BC可得出∠DAN=∠BCM，从而即可判断出△ADN≌△CBM．
（2）连接NE、MF，根据（1）的结论可得出NF=ME，再由∠NFE=∠MEF可判断出NF∥ME．
（3）设AC与MN的交点为O，EF=x，作QG⊥PC于G点，首先由勾股定理求出线段AC的长度，根据翻折变换知：AF=CE=3，结合线段间的和差关系求得EF=1；然后通过解Rt△CFN、Rt△NFE分别求得NF、NO的长，即NM=PQ=QC=2NO，结合图形得到：PC=2$\sqrt{P{Q}^{2}-Q{G}^{2}}$，所以AQ=AB-$\frac{1}{2}$PC．

解答 （1）证明：如图1，由折叠的性质得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠DAN=∠BCM，
在Rt△ADN和Rt△CBM中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠B=90°}\\{AD=BC}\\{∠DAM=∠BCM}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△CBM（ASA），
∴DN=BM；

（2）解：如图1，连接NE、MF，
∵由（1）知，△ADN≌△CBM，
∴NF=ME，
∵∠NFE=∠MEF，
∴NF∥ME，
∴四边形MFNE是平行四边形；

（3）解：如图2，设AC与MN的交点为O，EF=x，作QG⊥PC于G点，
∵AB=8，BC=6，
∴由勾股定理得到：AC=10，
∵AF=CE=BC=6，
∴2AF-EF=AC，即12-x=10，
解得x=2，
∴EF=2，
∴CF=4，
在Rt△CFN中，$\frac{NF}{CF}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{4}$，
解得NF=3，
∵OE=OF=$\frac{1}{2}$EF=1，
∴在Rt△NFO中，ON²=OF²+NF²，
∴ON=$\sqrt{10}$，
∴MN=2ON=2$\sqrt{10}$，
∵PQ∥MN，PN∥MQ，
∴四边形MQPN是平行四边形，
∴MN=PQ=2$\sqrt{10}$，
∵PQ=CQ，
∴△PQC是等腰三角形，
∴PG=CG，
在Rt△QPG中，
PG²=PQ²-QG²，即PG=$\sqrt{40-36}$=2，
又GC=PG=QB，
∴AQ=AB-BQ=AB-PG=6．

点评 本题主要考查翻折变换的知识点，还涉及平行四边形的证明，解答（3）问的关键是求出EF的长，此题难度较大，要熟练掌握此类试题的解答，此类题经常出现中考试卷中，请同学们关注．