Question

5．如图，EA⊥AB，BC⊥AB，AB=AE=2BC，D为AB的中点，以下判断正确的个数有（　　）
①DE=AC；②DE⊥AC；③∠EAF=∠ADE；④∠CAB=30°．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据点D是AB的中点，得到AD=$\frac{AB}{2}$，由于AB=2BC，于是得到AD=BC，证得Rt△AED≌Rt△BAC，得到∠E=∠CAB，DE=AC，故①正确；由∠E+∠EDA=90°，得到∠FAD+∠EDA=90°，即可得到DE⊥AC，故②正确；根据同角的余角相等得到∠EAF=∠ADE，故③正确；根据BC是AB的一半，而不是AC的一半，故∠CAB不等于30°，故④错误．

解答 解：点D是AB的中点，则AD=$\frac{AB}{2}$，
∵AB=2BC，
∴AD=BC，
∵EA⊥AB，CB⊥AB，
∴∠B=∠EAB=90°，
在△AED与△BAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠DAE=∠CBA}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△BAC，
∴∠E=∠CAB，DE=AC，
∴①正确；
∵∠E+∠EDA=90°，
∴∠FAD+∠EDA=90°，
∴∠AFD=180°-（∠FAD+∠EDA）=90°，
∴DE⊥AC，
∴②正确；
∵∠EAF与∠ADE都是∠E的余角，
∴∠EAF=∠ADE，
∴③正确；
∵BC是AB的一半，而不是AC的一半，故∠CAB不等于30°，
∴④错误；
故选C．

点评 本题考查了：①全等三角形的判定和性质；②三角形内角和定理；③直角三角形的性质，熟记这些定理是解题的关键．