Question

10．如图，直线y=x+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A的直线y=$\frac{1}{3}$x+b与y轴相交于点C．
（1）求直线AC的解析式；
（2）求直线AC关于直线AB对称的直线的解析式．

Answer 1

分析 （1）由直线y=x+1求得A的坐标，代入直线y=$\frac{1}{3}$x+b，根据待定系数法即可求得；
（2）根据待定系数法求得直线CC′的解析式，联立方程求得D的坐标，即可求得对称点C′的坐标，然后利用待定系数法求得即可．

解答 解：（1）∵直线y=x+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，
∴B（0，1），A（-1，0），
∵直线y=$\frac{1}{3}$x+b过A点，
∴0=-$\frac{1}{3}$+b，
解得：b=$\frac{1}{3}$，
∴C（0，$\frac{1}{3}$），
设AC解析式为y=kx+a，
∵过A（-1，0），C（0，$\frac{1}{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-k+a}\\{a=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{1}{3}$，a=$\frac{1}{3}$，
∴AC解析式为y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$；

（2）作C关于直线AB的对称点C′，连接CC′交AB于D，则AD⊥CC′，
∴直线CC′的解析式为y=-x+$\frac{1}{3}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-x+\frac{1}{3}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{3}}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴D（-$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），
设C′（x，y），
∵-$\frac{1}{3}$=$\frac{x+0}{2}$，$\frac{2}{3}$=$\frac{y+\frac{1}{3}}{2}$，
∴x=-$\frac{2}{3}$，y=1，
∴C′（-$\frac{2}{3}$，1），
设直线AC′的解析式为y=mx+n，
∵A（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=0}\\{-\frac{2}{3}m+n=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线AC关于直线AB对称的直线的解析式为y=3x+3．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，轴对称的性质，互相垂直两直线的性质等，熟练掌握待定系数法是解题的关键．