Question

13．正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥CD于E，PF⊥AD于F．
（1）求证：EF=PB；
（2）当点P在线段AC（点P不与A、C重合）上运动时，EF的长度在发生变化，这个长度有最大值还是最小值？当AB=4时，运用（1）中结论求出这个值．

Answer 1

分析 （1）连接PD，证明四边形DEPF是矩形，得出对角线相等EF=PD，再证明△ABP≌△ADP，得出PB=PD，即可得出EF=PB；
（2）当P为对角线AC与BD的交点时，EF的值最大，根据勾股定理求出BD，得出PB，即可得出结果．

解答 （1）证明：连接PD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠D=90°，∠BAP=∠DAP=45°，
∵PE⊥CD于E，PF⊥AD于F，
∴∠DEP=∠DFP=90°，
∴四边形DEPF是矩形，
∴EF=PD，
在△ABP和△ADP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠BAP=∠DAP}&{\;}\\{AP=AP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ADP（SAS），
∴PB=PD，
∴EF=PB；
（2）解：有最大值，EF_最大值=2$\sqrt{2}$；理由如下：
当P为对角线AC与BD的交点时，EF的值最大；
在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴PB=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{2}$，
∴EF_最大值=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形和矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．