题目内容
1．如图1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，动点E从A点出发以2个 单位/s的速度向终点B运动，同时动点F从A点出发以1个单位/s的速度向终点D运动，运动过程中，将△AEF沿EF翻折，点A的落点为P点，设运动的时间为t（s）．（1）①判断EF与BD的位置关系是平行；
②t=2s时，点P落在对角线BD上．
（2）若△PEF与△ABD重叠部分的面积为y，求y与t的函数关系式，并求重叠部分面积的最大值．
（3）当t为何值时，△PEF的外接圆与矩形的一条边相切（直接写出结果）．
分析 （1）根据△AEF∽△ADB即可证得EF∥BD；
（2）当EF平移到A到BD的垂线段的中点时，即E到AB的中点时，P落在BD上；
（3）当0＜t≤2时，重合部分等于△AEF的面积；
当2＜t≤4时，根据△PEF∽△PGH，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求得△PGH的面积，则重合部分的面积即可求得，然后利用二次函数的性质求得最值；
（4）以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，则E的坐标是（2t，0），F的坐标是（0，t），EF是圆的直径，EF的中点是圆心，根据相切时圆心到直线的距离等于半径即可求解．
解答 解：（1）EF和BD的关系是EF∥BD．
答案是：平行；
（2）当t=2时，E和F分别在AB和AD的中点，且EF∥BD，则A的对称点P落在BD上．
故答案是：2；
（3）当0＜t≤2时，重合部分等于△AEF的面积，则y=$\frac{1}{2}$×2t•t=t2，则当t=2时，最大值是4；
当2＜t≤4时（如图1），连接AP交BD于点M，
在直角△ABD中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
则AM=$\frac{AB•AD}{BD}$=$\frac{8×4}{4\sqrt{5}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
同理AN=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$t，
则PM=PN-MN=AN-MN=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$t-（$\frac{8\sqrt{5}}{5}$-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$t）=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$t-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∵EF∥BD，
∴△PMN∽△PEF，
∴$\frac{{S}_{△PGH}}{{S}_{△PEF}}$=（$\frac{PM}{PN}$）2=（$\frac{PM}{AN}$）2=（2-$\frac{4}{t}$）2，
则S△PGH=t2（2-$\frac{4}{t}$）2=4t2-16t+16，
则y=t2-（4t2-16t+16），即y=-3t2+16t-16．
则当t=$\frac{8}{3}$时，y有最大值是：$\frac{16}{3}$．
总之，当t=$\frac{8}{3}$时，y有最大值是：$\frac{16}{3}$；
（3）如图2，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，则E的坐标是（2t，0），F的坐标是（0，t）．
则EF的中点Q的坐标是（t，$\frac{1}{2}$t），EF=$\sqrt{5}$t，即圆的半径是$\frac{\sqrt{5}}{2}$t．
当圆和CD相切时，4-$\frac{1}{2}$t=$\frac{\sqrt{5}}{2}$t，解得：t=2（$\sqrt{5}$+1）．
点评 本题考查了图形的折叠以及相似三角形的判定与性质，相似三角形的面积的比等于相似比的平方，求得PM的长是本题的关键．
正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥CD于E，PF⊥AD于F．| A． | x＞1 | B． | x＜1 | C． | x＞2 | D． | x＜2 |
如图，△AOB与△COD都是等腰直角三角形．