Question

9．已知点P是正方形ABCD边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足点分別为点E，F，AD=4．PM∥FC交DC于M点     
（1）证明：△APB∽△DMP；
（2）当点P在边AD上运动时，设AP的长为x，问：当x取何值时，线段DM的长取最大值，并求出这个最大值．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质和已知条件得出已知∠DPM=∠ABP，即可得出△APB∽△DMP；
（2）设AP=x，则PD=4-x，由相似三角形的性质得出比例式，得出DM是关于x的二次函数，求出DM的最大值即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAP=∠D=90°，
∴∠ABP+∠APB=90°，
∵CF⊥BP，PM∥CF，
∴PM⊥BP，
∴∠APB+∠DPM=90°，
∴∠ABP=∠DPM，
∴△APB∽△DMP；
（2）解：设AP=x，则PD=4-x，AB=AD=4，
∵△APB∽△DMP，
∴$\frac{DM}{AP}=\frac{PD}{BA}$，即$\frac{DM}{4-x}=\frac{x}{4}$，
∴DM=$\frac{x（4-x）}{4}$=x-$\frac{1}{4}$x²=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+1，
∴当x=2时，即点P是AD的中点时，DM有最大值，最大值为1．

点评 本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．