Question

2．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与周长．

Answer 1

分析 （1）根据四边形EFGH是正方形，得到EH∥BC，进而得出∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，即可判定△AEH∽△ABC；
（2）设正方形EFGH的边长为x，则DM=x，AM=30-x，根据△AEH∽△ABC，得出$\frac{EH}{BC}$=$\frac{AM}{AD}$，即$\frac{x}{40}$=$\frac{30-x}{30}$，进而解得x=$\frac{120}{7}$，即可得出正方形的边长与周长．

解答 解：（1）∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，
∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，
∴△AEH∽△ABC；

（2）如图，设AD与EH交于点M，
∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，
∴四边形EFDM是矩形，
∴EF=DM，
设正方形EFGH的边长为x，则DM=x，AM=30-x，
∵△AEH∽△ABC，
∴$\frac{EH}{BC}$=$\frac{AM}{AD}$，即$\frac{x}{40}$=$\frac{30-x}{30}$，
解得x=$\frac{120}{7}$，
∴正方形EFGH的边长为$\frac{120}{7}$cm，周长为$\frac{480}{7}$cm．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形、矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是运用相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比列方程求解．