Question

12．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD、OD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC=60°，OA=2，求弧$\widehat{AD}$的长（结果保留π）．

Answer 1

分析 （1）由Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O切BC于D，易证得AC∥OD，继而证得AD平分∠CAB；
（2）求出∠AOD的度数，根据弧长公式求出即可．

解答 （1）证明：∵⊙O切BC于D，
∴OD⊥BC，
∵AC⊥BC，
∴AC∥OD，
∴∠CAD=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD=∠CAD，
即AD平分∠CAB；

（2）解：∵由（1）知：OD∥AC，
又∵∠BAC=60°，
∴∠AOD+∠BAC=180°，
∴∠AOD=120°，
∵OA=2，
∴$\widehat{AD}$的长为$\frac{120π×2}{180}$=$\frac{4}{3}$π．

点评 本题考查了平行线的性质，切线的性质，弧长公式的计算等知识点，能灵活运用定理和性质进行推理和计算是解此题的关键．