Question

14．如图，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（6，$\frac{3}{2}$），点P是x轴上一点，且PA+PB的值最小．
（1）求点P的坐标；
（2）在x轴上有一点M，点M、A、P恰好为等腰△APM的三个顶点．
①若AP为△APM的腰，直接写出点M的坐标；
②若PA为△APM的底边，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作点C与点A关于x轴对称，连接BC交x轴于p，此时PA+PB最小．求出BC的解析式即可解决问题．
（2）①在Rt△AOP中，OA=3，OP=4，可知AP=5，分两种情形讨论A为等腰三角形的顶角，P为等腰三角形的顶角即可．
②如图2中，作AP的垂直平分线交AP于N，交x轴于M，设OM=x，则AM=PM=4-x，在Rt△AOM中，根据AM²=OA²+OM²，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，作点C与点A关于x轴对称，连接BC交x轴于p，此时PA+PB最小．

∴点C的坐标为（0，-3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=\frac{3}{2}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-3，
令y=0，$\frac{3}{4}$x-3=0，x=4，
∴点P坐标为（4，0）．
（2）①在Rt△AOP中，OA=3，OP=4，
∴AP=5，
∴AP为△APM的腰，点M的坐标为（9，0）或（-1，0）或（-4，0）．

②如图2中，作AP的垂直平分线交AP于N，交x轴于M，

∵MA=MP，设OM=x，则AM=PM=4-x，
在Rt△AOM中，∵AM²=OA²+OM²，
∴x²+3²=（4-x）²，
∴x=$\frac{7}{8}$，
∴点M坐标（$\frac{7}{8}$，0）．

点评 本题考查轴对称-最短问题、周边游图形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，需要用分类讨论的思想思考问题，学会利用对称解决最值问题，属于中考常考题型．