Question

在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，点E是线段BC的中点，F点在边DC上，AE平分∠BAF．
求证：2∠AFE+∠DFA=180°．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：延长AE、BC相交于点M，根据平行四边形的性质就可以得出∠1=∠M．∠B=∠MCE，通过证明△ABE≌△MCE就可以得出AE=EM，就可以得出∠AFE=∠CFE，进而得出结论．

解答：证明：延长AE、DC相交于点M．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠2=∠M．
∵AE平分∠BAF，
∴∠1=∠2．
∴∠1=∠M．
∵E是线段BC的中点，
∴BE=CE．
在△ABE和△MCE中，

∠1=∠M ∠4=∠5 EB=CE

，
∴△ABE≌△MCE（AAS），
∴AE=ME．
∵AF=MF，
∴∠AFE=∠CFE．∠AEF=90°．
∵∠AFM+∠DFA=180°，
∴∠AFE+∠MFE+∠DFA=180°，
即2∠AFE+∠DFA=180°．

点评：本题考查了平行四边形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．