Question

如图，点P（2，2），点A、B分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，A（5，0），∠APB=90°．
（1）求点B的坐标；
（2）如图2，点C在y轴正半轴上，作PD⊥PC，且PD=PC，过点P作x轴的平行线交y轴于E，交AD于F，若C（0，m），求PF的长（用m表示）．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质

专题：

分析：（1）过P分别作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、N，可证明△PMA≌△PNB，可得BN=AM，可求得BO的长，求得点B的坐标；
（2）在CE上取点H，使∠PHC=∠PFD，可证明△PDF≌△CPH，可得PF=CH，结合（1）可证明△PHB≌△AFP，可得PF=BH，可得到PF=

1

2

BC，可求得答案．

解答：解：
（1）如图1，过P分别作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、N，

∵P（2，2），A（5，0），
∴PM=PN=ON=OM=2，OA=5，
∴AM=5-2=3，
∵∠APB=90°，
∴∠NPB+∠BPM=∠APM+∠BPM，
∴∠NPB=∠APM，
在△PMA和△PNB中

∠APM=∠BPN PM=PN ∠PMA=∠PNB

∴△PMA≌△PNB（ASA），
∴BN=AM=3，且ON=2，
∴OB=1，
∴点B坐标为（0，-1）；
（2）如图2，在CE上取点H，使∠PHC=∠PFD，

∵PD⊥PC，EF∥AB，
∴∠CPD=∠CEP=90°，
∴∠HCP+∠CPE=∠CPE+∠DPF=90°，
∴∠PCH=∠DPF，
在△PCH和△DPF中

∠PCH=∠DPF ∠PHC=∠DFP PC=PD

∴△PCH≌△DPF（AAS），
∴PF=CH，
∵∠PHC=∠DFP，
∴∠PHB=∠PFA，
∵EF∥AB，
∴∠FPA=∠PAO，
又由（1）可知∠EBP=∠PAO，
∴∠HBP=∠FPA，
且由（1）可知PB=PA，
在△PHB和△FAP中

∠PHB=∠PFA ∠PBH=∠FPA PB=PA

∴△PHB≌△FAP（AAS），
∴PF=BH，
∴PF=

1

2

BC，
且BC=BO+OC=1+m，
∴PF=

1+m

2

．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（对应边、对应角相等）是解题的关键．在（2）中作出∠PHC=∠PFD，构造全等是解题的突破口．