Question

1．如图，在△ABC中，AB=2，AC=BC=$\sqrt{5}$
（1）以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系如图，请你分别写出A、B、C三点的坐标；
（2）求过A、B、C三点且以C为顶点的抛物线的解析式；
（3）若D为抛物线上的一动点，当D点坐标为何值时，S_△ABD=$\frac{1}{2}$S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形“三线合一”的性质求得点A、B的坐标；在直角△OAC中，利用勾股定理来求点C的坐标；
（2）因为对称轴是y轴，故设抛物线的解析式是：y=ax²+b．把点B、C的坐标分别代入函数解析式，借用方程组求得系数的值即可；
（3）△ABD与△ABC是同底等高的两个三角形，由此求得点D的纵坐标，结合二次函数图象上点的坐标特征来求点D的横坐标即可．

解答 解：（1）∵AB的垂直平分线为y轴，
∴OA=OB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴A的坐标是（-1，0），B的坐标是（1，0）．
在直角△OAC中，OC=$\sqrt{B{C}^{2}-O{B}^{2}}$=2，
则C的坐标是：（0，2）；

（2）设抛物线的解析式是：y=ax²+b．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
则抛物线的解析式是：y=-2x²+2；

（3）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$S_△ABC=1．
设D的纵坐标是m，则$\frac{1}{2}$AB•|m|=1，
则m=±1．
当m=1时，-2x²+2=1，解得：x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当m=-1时，-2x²+2=-1，解得：x=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
则D的坐标是：（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）或（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）或（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，-1），或（-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，-1）．

点评 本题考查了二次函数综合题．解题时，需要综合利用等腰三角形的性质，坐标与图形性质，三角形的面积公式，待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，综合性比较强，注意“数形结合”数学思想的应用．